高斯混合模型(GMM)与EM算法的关系
高斯混合模型（GMM）是软聚类的代表方法，通常用EM算法求解。请解释GMM的数学表示、EM算法的E步和M步具体内容，以及GMM与K-Means的关联。
回答
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GMM数学表示：
p(x) = Σₖ πₖ · N(x | μₖ, Σₖ)
其中πₖ为混合系数（权重），Σπₖ=1，N(·)为高斯分布。
EM算法求解GMM：
E步（期望步）：
计算样本xᵢ属于第k个高斯分量的后验概率（responsibility）：
γᵢₖ = πₖ · N(xᵢ|μₖ, Σₖ) / Σⱼ πⱼ · N(xᵢ|μⱼ, Σⱼ)
M步（最大化步）： 更新参数以最大化对数似然期望：
μₖ = (Σᵢ γᵢₖ · xᵢ) / (Σᵢ γᵢₖ)（加权均值）Σₖ = (Σᵢ γᵢₖ · (xᵢ-μₖ)(xᵢ-μₖ)ᵀ) / (Σᵢ γᵢₖ)（加权协方差）πₖ = (Σᵢ γᵢₖ) / N（分量权重）
与K-Means的关联：
- K-Means是GMM的特例（Σₖ=σ²I固定，γᵢₖ退化为硬分配）
- GMM提供聚类概率（软聚类），K-Means只给硬标签
- GMM可拟合椭圆形簇，K-Means限球形
优势：可建模不同大小和方向的簇，提供概率归属。