隐马尔可夫模型(HMM)的三个基本问题
HMM是处理时序数据的重要概率模型。请详细解释HMM的三个基本问题（评估、解码、学习）以及各自的经典解法（前向后向、Viterbi、Baum-Welch），并给出各算法的核心公式。
回答
屠龙少年
HMM的组成：
- 状态集合S，观测集合O
- 初始概率π，状态转移矩阵A，发射矩阵B
三个基本问题：
1. 评估问题（Evaluation）：
- 给定λ=(A,B,π)和观测序列O，计算P(O|λ)
- 前向算法：
α₁(j) = πⱼ·bⱼ(o₁)αₜ(j) = [Σᵢ αₜ₋₁(i)·aᵢⱼ]·bⱼ(oₜ)P(O|λ) = Σᵢ α_T(i) - 后向算法：
β_T(i) = 1βₜ(i) = Σⱼ aᵢⱼ·bⱼ(oₜ₊₁)·βₜ₊₁(j)
2. 解码问题（Decoding）：
- 给定观测序列，找最可能的状态序列
- Viterbi算法（动态规划）：
δ₁(j) = πⱼ·bⱼ(o₁)δₜ(j) = maxᵢ [δₜ₋₁(i)·aᵢⱼ]·bⱼ(oₜ)ψₜ(j) = argmaxᵢ [δₜ₋₁(i)·aᵢⱼ]
3. 学习问题（Learning）：
- 给定观测序列，估计λ使P(O|λ)最大
- Baum-Welch算法（EM特例）： E步：用前向后向计算γₜ(i)=P(qₜ=Sᵢ|O,λ)、ξₜ(i,j)（状态转移后验） M步：更新πᵢ=γ₁(i)，aᵢⱼ=Σξₜ(i,j)/Σγₜ(i)，bⱼ(k)=Σγₜ(j)·𝟙(oₜ=k)/Σγₜ(j)